Calculadora de limites

Calculadora de limites: explore o limite de uma função quando x se aproxima de um valor.

Calcular

Função de x, por exemplo (x^2 - 1)/(x - 1).

Um número, uma constante como pi, ou ∞ e −∞.

Edite os valores do exemplo para calcular.

Quando o resultado vem de uma estimativa numérica aparece «≈»: não é prova de que o limite existe.

Fórmula e limites explicados abaixo.

Como fazer este cálculo

Escreva a função, indique o valor de que x se aproxima (ou ∞ e −∞) e escolha a direção: ambos os lados, esquerda ou direita. Selecione Calcular.

A página tenta primeiro um resultado exato (simplificação de funções racionais, substituição, regra de L’Hôpital) e só depois uma estimativa numérica.

Fórmula e método

O limite descreve o valor de que f(x) se aproxima quando x se aproxima de a, sem exigir que f(a) exista. O limite bilateral existe quando os limites laterais existem e são iguais.

Exemplo explicado

Para (x² − 1)/(x − 1) quando x → 1: para x ≠ 1 a expressão simplifica-se para x + 1, por isso o limite é 2, mesmo que a função não esteja definida em x = 1.

Limites que deve conhecer

  • O valor da função num ponto não é o mesmo que o limite nesse ponto.
  • Se os limites laterais diferem (por exemplo 1/x em 0: −∞ à esquerda e +∞ à direita), o limite bilateral não existe.
  • Resultados numéricos vêm assinalados com ≈ e não provam a existência do limite; funções que oscilam, como sin(1/x) em 0, podem não convergir.
  • Uma variável real; limites de várias variáveis não são suportados.

Limites laterais e limite no infinito

O limite estuda a aproximação a um ponto. Em (x² − 1)/(x − 1), a função não existe em 1, mas o limite vale 2, pois para x diferente de 1 a expressão equivale a x + 1.

Quando o limite bilateral não existe

Para 1/x em zero, os valores tendem para −∞ à esquerda e +∞ à direita. Os dois lados não coincidem. Escolha a direção adequada no formulário; uma amostragem numérica por si só não demonstra a existência de um limite.

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Perguntas frequentes

O que significa «O limite bilateral não existe»?

Significa que, ao aproximar-se do ponto por cada lado, a função não tende para o mesmo valor (ou não está definida de um dos lados).