Sólidos platónicos: cinco formas que ligam a geometria à natureza

As regras de uma família muito pequena

Os sólidos platónicos receberam o nome do filósofo grego Platão. São poliedros convexos, isto é, sólidos delimitados por faces planas e sem reentrâncias.

Para pertencer a esta família, uma figura precisa de cumprir três condições.

Primeiro, todas as faces devem ser polígonos regulares. Isso significa que, em cada face, os lados têm o mesmo comprimento e os ângulos interiores são iguais.

Segundo, todas as faces devem ser congruentes. Têm de apresentar exatamente a mesma forma e o mesmo tamanho. Se colocássemos uma sobre outra, coincidiriam.

Terceiro, em cada vértice deve encontrar-se o mesmo número de faces.

Estas regras parecem permitir muitas combinações. No entanto, só existem cinco sólidos convexos que as satisfazem.

Os cinco sólidos platónicos

O tetraedro tem quatro faces, todas elas triângulos equiláteros. Em cada vértice encontram-se três faces.

O cubo, também chamado hexaedro regular, tem seis faces quadradas. É provavelmente o membro mais familiar desta família. Também nele se encontram três faces em cada vértice.

O octaedro tem oito faces triangulares. Podemos imaginá-lo como duas pirâmides de base quadrada unidas pelas bases, com as proporções certas para que todos os triângulos sejam equiláteros. Em cada vértice encontram-se quatro faces.

O dodecaedro tem doze faces em forma de pentágonos regulares, com três faces a encontrarem-se em cada vértice.

O icosaedro tem vinte faces triangulares. Em cada vértice encontram-se cinco triângulos equiláteros.

A razão por que não existe um sexto

O segredo está nos ângulos que se juntam em cada vértice.

Para formar um vértice de um poliedro convexo, precisamos de pelo menos três faces. A soma dos ângulos dessas faces nesse ponto tem de ser inferior a 360 graus. Se atingir 360 graus, as faces ficam planas, sem formar a ponta de um sólido convexo.

Cada ângulo de um triângulo equilátero mede 60 graus. Podemos juntar três, quatro ou cinco desses triângulos num vértice. Estas possibilidades correspondem ao tetraedro, ao octaedro e ao icosaedro. Se juntarmos seis, chegamos a 360 graus.

Com quadrados, cujos ângulos medem 90 graus, podemos juntar três. Quatro já completariam uma volta inteira. É desta possibilidade que surge o cubo.

Com pentágonos regulares, cada ângulo mede 108 graus. Três somam 324 graus e permitem formar o dodecaedro. Quatro ultrapassariam 360 graus.

Nos hexágonos regulares, três ângulos já somam 360 graus. Nos polígonos regulares com mais lados, a soma seria ainda maior.

As possibilidades terminam aqui. Euclides apresentou o estudo destes sólidos e a demonstração de que só existem cinco no Livro XIII dos Elementos.

Quando as formas explicavam o universo

Para Platão, estes sólidos eram mais do que curiosidades geométricas.

No diálogo Timeu, o tetraedro surge associado ao fogo, o cubo à terra, o octaedro ao ar e o icosaedro à água. O dodecaedro fica ligado ao conjunto do cosmos.

Estas associações pertenciam a uma interpretação filosófica da natureza. As formas regulares ofereciam uma maneira de imaginar uma ordem por trás da diversidade do mundo.

Séculos mais tarde, no final do século XVI, Johannes Kepler também procurou essa ordem nos sólidos platónicos. Propôs um modelo em que os cinco sólidos ficavam encaixados entre esferas associadas às órbitas dos seis planetas então conhecidos, incluindo a Terra.

A tentativa não explicou corretamente as distâncias planetárias. Ainda assim, mostra até onde pode chegar o fascínio por uma família de formas tão pequena e tão regular.

Do sal aos cristais

Não precisamos de procurar entre os planetas para encontrar exemplos destas formas.

Os cristais de sal de cozinha, constituídos por cloreto de sódio, podem apresentar uma forma cúbica. Uma estrutura familiar da geometria aparece, assim, num material que usamos todos os dias.

O diamante e a fluorite também podem formar cristais com um contorno octaédrico.

Os exemplares naturais nem sempre são perfeitos. O crescimento, as condições do ambiente e o desgaste podem alterar o seu aspeto. Mesmo assim, a relação com os modelos geométricos continua a ser reconhecível.

A mesma geometria em escalas menores

Em alguns vírus, encontramos outra ligação. A cápside, a estrutura de proteínas que envolve o material genético, pode apresentar simetria icosaédrica. É o caso dos herpesvírus, embora o seu revestimento exterior não tenha de mostrar o mesmo contorno.

Também há disposições tetraédricas à escala molecular.

Numa molécula de metano, quatro átomos de hidrogénio distribuem-se em torno de um átomo de carbono numa geometria tetraédrica. No ião amónio, quatro hidrogénios apresentam uma disposição semelhante em torno de um átomo de azoto.

Não são pequenos tetraedros com faces sólidas. São posições no espaço que correspondem aos vértices dessa figura.

Os sólidos platónicos pertencem aos livros de geometria, mas as suas formas e simetrias também ajudam a descrever cristais, moléculas e estruturas biológicas. Uma família com apenas cinco membros consegue aparecer em lugares muito diferentes.