Pesquisar uma ferramentaQuatro lados com uma organização particular
Um quadrilátero é uma figura plana com quatro lados. Os quadrados e os retângulos pertencem a esta família, tal como a forma tradicional de muitos papagaios de papel.
Na geometria, essa forma é conhecida como deltoide. Tem dois pares de lados adjacentes de igual comprimento. No exemplo mais familiar, os dois lados mais curtos encontram-se no vértice superior e os dois mais compridos encontram-se no vértice inferior.
- Lados curtos (uma marca): 2 × 25 unidades
- Lados compridos (duas marcas): 2 × ≈ 49,24 unidades
- Diagonal vertical: 60 unidades
- Diagonal horizontal: 40 unidades
É esta disposição que lhe dá o contorno alongado que reconhecemos no céu.
A diferença está na posição dos lados iguais. Num retângulo, os lados de igual comprimento ficam frente a frente. Num deltoide, os lados de cada par encontram-se num vértice.
Duas diagonais que se cruzam em ângulo reto
Se ligarmos os vértices opostos do deltoide, obtemos duas diagonais.
No modelo convexo habitual, uma delas passa pelos vértices onde se encontram os pares de lados iguais. Essa diagonal funciona como eixo de simetria: divide a figura em duas metades que se sobrepõem quando dobradas uma sobre a outra.
A outra diagonal atravessa a figura de um lado ao outro. As duas cruzam-se em ângulo reto, e o eixo de simetria divide a diagonal transversal em duas partes iguais.
- Eixo de simetria (diagonal vertical, traço contínuo)
- Diagonal transversal (traço tracejado)
Podemos observar estas relações num simples desenho. Traçar as diagonais revela uma organização que nem sempre notamos quando vemos o papagaio a voar.
Um papagaio também pode formar um mosaico
A mesma figura que associamos ao céu pode servir para cobrir uma superfície plana.
Com cópias iguais de um deltoide, devidamente rodadas e posicionadas, é possível preencher o plano sem deixar espaços nem sobrepor peças. Este tipo de organização chama-se pavimentação ou tesselação.
Os azulejos de uma parede ajudam a perceber a ideia. Cada peça ocupa uma parte da superfície e encaixa nas que a rodeiam.
Cada peça é um deltoide igual ao da figura anterior; as amarelas são cópias rodadas meia volta em torno do ponto médio de um lado. A unidade que se repete é o retângulo de 40 × 60 (a moldura tracejada), de área 2 400, com duas peças de área 1 200 cada.
Certos deltoides também aparecem numa das famílias de pavimentações de Penrose, em conjunto com uma segunda peça em forma de dardo. Quando seguem as regras de encaixe próprias desse sistema, formam padrões que não se repetem por uma simples translação.
Um mosaico pode, assim, ter ordem sem repetir continuamente o mesmo bloco.
A forma também influencia o voo
Nem todos os papagaios de papel têm quatro lados. A forma, o peso, a estrutura e a posição onde se prende a linha influenciam a maneira como se comportam no ar.
Os modelos tradicionais em forma de deltoide usam frequentemente uma cauda para ajudar a estabilizar o voo.
Os papagaios delta têm um contorno triangular. Muitos modelos leves conseguem voar com pouco vento, embora precisem de movimento de ar suficiente para se manterem no céu.
Os rokkaku, de origem japonesa, apresentam seis lados. São conhecidos pela sua utilização em encontros e competições de papagaios, nos quais o controlo e o equilíbrio têm um papel importante.
Tradicional
Deltoide, 4 lados
Delta
Triângulo, 3 lados
Rokkaku
Hexágono, 6 lados
O contorno dá-nos uma primeira pista sobre o comportamento de cada modelo. A construção completa determina o resto.
Calcular a área pelas diagonais
A área de um deltoide pode ser calculada a partir do comprimento das suas duas diagonais.
Multiplicamos esses comprimentos e dividimos o resultado por dois:
Nesta fórmula:
- A representa a área.
- D representa o comprimento de uma diagonal.
- d representa o comprimento da outra diagonal.
Imagine um papagaio com diagonais de 60 cm e 40 cm:
Área do retângulo: 2 400 cm²
Área do deltoide: 1 200 cm²
Este é o valor da área da figura plana. Para cortar o material de um papagaio real, poderá ser necessário acrescentar margens para as dobras e as fixações.
As duas diagonais devem ser medidas na mesma unidade. Se forem medidas em centímetros, a área será expressa em centímetros quadrados.
Outra maneira de chegar à mesma área
Também podemos calcular a área conhecendo o comprimento de um lado de cada par e o ângulo interior entre esses dois lados.
Se os comprimentos forem a e b, e o ângulo entre eles for θ, a fórmula é:
O ângulo escolhido é aquele em que um lado do primeiro par se encontra com um lado do segundo par.
A explicação está na diagonal de simetria. Ela divide o deltoide em dois triângulos iguais. Cada triângulo tem área igual a metade do produto a × b × sen(θ). Ao juntar os dois, obtemos a fórmula completa.
Por exemplo, com lados de 30 cm e 50 cm e um ângulo entre eles de 90 graus:
Triângulo: catetos 30 e 50, área 750 cm²
Deltoide: dois triângulos iguais, 1 500 cm²
Este é um exemplo diferente do anterior. Mostra uma segunda forma de calcular a área, conforme as medidas que temos disponíveis.
Calcule a área do seu papagaio
Um papagaio de papel pode ser apenas uma companhia para uma tarde de vento. Mas basta olhar para as suas linhas para encontrar uma pequena aula de geometria.